Vorlesung: Einführung in die Topologie

Dozent

Immanuel van Santen

Ort und Zeit

Die Vorlesung findet jeweils Dienstags zwischen 14:15-16:00 im Kollegienhaus, Hörsaal 114 statt.

Inhalt

Die Topologie (scherzhaft auch Gummigeometrie genannt) befasst sich mit qualitativen Eigenschaften geometrischer Objekte, präziser mit Eigenschaften, die unter stetigen Verformungen erhalten bleiben. Als Wissenschaft entwickelte sie sich vor allem im 20. Jahrhundert und erwies sich seitdem in so gut wie allen mathematischen Teilgebieten als hilfreiches Werkzeug. Für das Studium der allermeisten Gebiete der modernen Mathematik ist also ein gutes Verständnis der Topologie unabdingbar.

Wir studieren zunächst metrische Räume. Dies wird die abstrakte Definition eines topologischen Raumes motivieren. Hier riskieren wir auch einen Einblick in die Sprache der Kategorientheorie. Wir lernen verschiedene Konstruktionen kennen, aus gegebenen topologischen Räumen weitere zu erhalten: Teilräume, Produkte und Quotienten. Allgemeiner diskutieren wir Pullbacks und Pushouts und ihre universellen Eigenschaften.

Anschliessend betrachten wir verschiedene Eigenschaften topologischer Räume: In welcher Form können Punkte eines topologischen Raumes trennbar sein? Was bedeutet es, dass ein topologischer Raum zusammenhängend oder kompakt ist? Wir zeigen den Satz von Tychonoff: Unendliche Produkte kompakter Räume sind wieder kompakt. Und wir zeigen den Satz von Tietze über die Erweiterbarkeit stetiger Funktionen.

Zum Schluss wagen wir einen Ausblick in die algebraische Topologie. Hier studieren wir die Fundamentalgruppe topologischer Räume, welche grob gesagt die verschiedenen Möglichkeiten klassifiziert, Schleifen in den Raum einzubetten. Sie ist ein nützliches Werkzeug, um wichtige Eigenschaften des Raumes zu erkennen oder verschiedene Räume zu unterscheiden.

Übungsgruppen

Die Übungen finden Dienstags zwischen 16:15-18:00 an der Spiegelgasse 1, Seminarraum 00.003 unter der Leitung von Hang Fu und Mittwochs zwischen 12:15-14:00 an der Spiegelgasse 5, Seminarraum 05.001 unter der Leitung von Alessio Cangini statt.

⚠ Nur in der ersten Woche findet die Übungsgruppe von Hang Fu am Donnerstag den 19.09 zwischen 14:15-16:00 im Kollegienhaus, Seminarraum 106 statt.

⚠ Die Übungsgruppe von Hang Fu am Donnerstag den 12.11 zwischen 14:15-16:00 findet ausnahmsweise an der Spiegelgasse 5, Seminarraum 05.001 statt.

Übungsblätter

Die Übungsblätter sind auf ADAM unter dem Workspace "52377-01 – Einführung in die Topologie" zu finden. Die Abgabe der Übungen ist jeweils am Montag um 12:00.

Literatur

Es gibt viele Bücher über Topologie. Die Vorlesung basiert auf folgendem Buch:
G. Laures, M. Szymik: Grundkurs Topologie. Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2023

Leistungsüberprüfung und Kreditpunkte

Die Vorlesung und die Übungen geben zusammen 6 Kreditpunkte. Die Leistungsüberprfügung besteht aus der sinnvollen Bearbeitung der Übungsblätter (genauer: 60% aller Aufgaben im Wesentlichen korrekt gelöst), dem Bestehen der Klausur und dem Bestehen einer mündlichen Prüfung.

Für die Klausur darf das Skript und die Übungsblätter nicht verwendet werden. Es ist nur ein von Hand geschriebener Spickzettel zulässig (keine Kopie, kein PC-Ausdruck). Dieser Spickzettel darf höchstens zwei A4 Seiten umfassen (nur vorne beschriftet). Auf dem Spickzettel darf alles stehen, was im Skript steht, aber es dürfen keine Übungsaufgaben (und deren Lösungen) auf dem Spickzettel stehen.

Die Klausur findet am 17.12.2024, zwischen 14:00-16:00 im Kollegienhaus, Hörsaal 120 statt. Die Wiederholungsklausur findet am 07.01.2025, zwischen 14:00-16:00 an der Spiegelgasse 1, Seminarraum 00.003 statt.

Die mündliche Prüfung findet zwischen dem 10. bis 12. Februar 2025 statt.