Hauptvorlesung: Differentialgeometrie, Frühjahrsemester 2021

Dozent

Immanuel van Santen

Ort und Zeit

Die Vorlesung findet jeweils Montags, zwischen 12.15-14.00 in Online-Präsenz und Mittwochs, 10.15-12.00 in Online-Präsenz statt.

Inhalt

-Differenzierbare Mannigfaltigkeiten: Definition einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit und differenzierbare Abbildungen, der Satz des regulären Wertes und Untermannigfaltigkeiten, Konstruktionen von Mannigfaltigkeiten, der Fundamentalsatz der Algebra, Nullmengen und die Sätze von Brown, Sard.

-Tangentialräume und Differentiale: Vektorbündel und das Tangentialbündel.

-Einbettungen, Normalenbündel und Tubenumgebungen: Zerlegungen der Eins und kompakte Ausschöpfungen, der Einbettungssatz von Whitney, Verallgemeinerung des Umkehrsatzes auf Untermannigfaltigkeiten, Normalenbündel und der Satz der Tubenumgebung.

-Orientierbarkeit: Orientierungen auf Vektorräumen und Mannigfaltigkeiten, Orientierungserhaltende Abbildungen, Konstruktionen von orientierbaren Mannigfaltigkeiten, Orientierbarkeit von Hyperflächen des R^n.

-Differentialformen: Definition alternierender k-Formen, das Dachprodukt alternierender k-Formen, alternierende k-Formen auf Mannigfaltigkeiten, die äußere Ableitung.

-Berandete Mannigfaltigkeiten und der Satz von Stokes: Integration auf Mannigfaltigkeiten, berandete Mannigfaltigkeiten, der Satz von Stokes, Anwendungen des Satzes von Stokes.

Übungsgruppen

Es gibt zwei Übungsgruppen zu dieser Vorlesung:

Donnerstags, zwischen 14.15-16.00 in Online-Präsenz. Assistent: Egor Yasinsky.

Freitags, zwischen 12.15-14.00 in Online-Präsenz. Assistent: Sokratis Zikas.

Übungsblätter

Die Übungsblätter sind auf ADAM unter dem Workspace "10482-01 – Differentialgeometrie" zu finden.

Skript

Zur Vorlesung gibt es ein Skript. Die einzelnen Teile werden fortlaufend auf ADAM unter dem Workspace "10482-01 – Differentialgeometrie" hochgeladen. Ich bin froh für alle möglichen Anmerkungen und Kommentare zum Skript.

Leistungsüberprüfung und Kreditpunkte

Die Vorlesung gibt 4 Kreditpunkte. Testatbedingung ist das Bestehen einer mündlichen Prüfung. Die mündlichen Prüfungen finden in der Woche vom 12.7. bis 16.7. statt.

Die Übungen geben 4 Kreditpunkte. Testatbedingung dafür ist das Erreichen von 60% der Punkte aller Übungsblätter und das Bestehen einer Klausur. Für die Klausur darf das Skript und die Übungsblätter nicht verwendet werden. Es ist nur ein von Hand geschriebener Spickzettel zulässig (keine Kopie, kein PC-Ausdruck). Dieser Spickzettel darf höchstens zwei A4 Seiten umfassen (nur vorne beschriftet). Auf dem Spickzettel darf alles drauf stehen, was im Skript steht, aber es dürfen keine Übungsaufgaben (und deren Lösungen) auf dem Spickzettel stehen.

Die Klausur findet am 14.6., zwischen 10:00-12:00 im Pharmazentrum im Hörsaal 1 statt. Die Wiederholungsklausur findet zwei Wochen später, am 28.6., zwischen 10:00-12:00 im Pharmazentrum im Hörsaal 2 statt.