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Géométrie des groupes et groupes de Cremona
Neuchâtel, Uni-Mail, Rue Emile-Argand 11, 16-18 décembre 2024
Programme
Lundi
16 décembre
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Mardi
17 décembre
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Mercredi
18 décembre
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| Salle B217
10h15-11h15
Serge Cantat
Counting components of the Cremona group in 2 variables
11h45-12h45
Anthony Genevois
Hyperbolicité acylindrique et automorphismes de groupes d'Artin à angles droits
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Salle B013
09h30-10h30
Rémi Coulon
Autour de la conjecture de Wiegold
11h00-12h00
Immanuel van Santen
A characterization of rationality and Borel subgroups
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| repas |
repas |
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Salle B013
13h30-14h30
Christian Urech
Groupes de Cremona sur des corps finis et groupes de Neretin I
15h00-16h00
Nicolas Monod
The fixed-point property and piecewise-projective transformations of the line
1er étage, Saloon
pause café / thé
16h45-17h45
Stéphane Lamy
Abélianisé du groupe de Cremona sur ℝ, d'après Zimmermann
repas officiel |
Salle B103
14h30-15h30
Anne Lonjou
Groupes de Cremona sur des corps finis et groupes de Neretin II
1er étage, Saloon
pause café / thé
16h30-17h30
Yves Cornulier
Actions partielles et régularisation de groupes agissant birationnellement
repas officiel
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Serge Cantat (Rennes) - Counting components of the Cremona group in 2 variables
I will discuss the following problem. Let N(d) be the number of irreducible components of the variety of all birational transformations of the plane of degree d.
There is an algorithm, due to Hudson, to enumerate these components in terms of ''homaloidal types''. I will explain how this may be used to estimate the asymptotic
behavior of N(d) as d goes to infinity. (based on joint work with Calabri, Maucourant, Massarenti and Mella).
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Yves Cornulier (Nantes) - Actions partielles et régularisation de groupes agissant birationnellement
Disons qu'une action birationnelle si on peut, par un changement birationnel de modèle (parmi les variétés, non nécessairement projectives), la conjuguer à une action par automorphismes. On montre que pour un groupe discret ayant la propriété FW (une propriété combinatoire impliquée par la propriété T de Kazhdan), toute action est régularisable. L'outil utilisé est la notion d'action partielle, due à Exel.
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Rémi Coulon (Dijon) - Autour de la conjecture de Wiegold
Étant donné un groupe libre F de rang au moins 3 et un groupe Q, on note N(F,Q) l'ensemble des sous-groupes distingués N de F tel que Q = F / N. Cet ensemble est naturellement muni d'une action du groupe d'automorphismes Aut(F). Une conjecture, attribuée à Wiegold, postule que cette action est transitive lorsque Q est un groupe fini simple non-abélien. Une version affaiblie stipule qu'elle n'a pas de point fixe (Lubotzky).
Dans cet exposé nous verrons que la situtation est drastiquement différente si Q est un groupe simple infini. On expliquera comment l'hyperbolicité acylindrique de Aut(F_n), due à Genevois et Horbez, permet montrer que l'ensemble des sous-groupes distingués N de F tels que F/N est simple a la puissance du continu.
Ceci est un travail en commun avec Francesco Fournier-Facio.
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Anthony Genevois (Montpellier) - Hyperbolicité acylindrique et automorphismes de groupes d'Artin à angles droits
Après une introduction générale à l'hyperbolicité acylindrique, j'expliquerai comment certaines techniques de théorie métrique des graphes permettent de déterminer précisément quand le groupe des automorphismes d'un groupe d'Artin à angles droits est acylindriquement hyperbolique.
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Stéphane Lamy (Toulouse) - Abélianisé du groupe de Cremona sur ℝ, d'après Zimmermann
Le corps k = ℝ des réels est le premier exemple où l'on s'est rendu compte que le groupe de Cremona Birk(ℙ2) admettait un abélianisé (hautement!) non trivial.
C'est un résultat de la thèse de Susanna Zimmermann, sur lequel je me suis repenché récemment pour l'inclure dans mon livre en préparation.
Je me propose donc de vous présenter une preuve sous une forme légèrement mise à jour par rapport à l'article original de Susanna.
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Anne Lonjou (Paris-Saclay) et Christian Urech (ETHZ) - Groupes de Cremona sur des corps finis et groupes de Neretin I et II
Lors de ces deux exposés, nous présenterons comment le groupe de Cremona de rang 2 sur un corps fini peut tre vu comme un sous-groupe dense d'un certain groupe de Neretin; ce dernier étant le groupe des quasi-automorphismes d'un arbre régulier enraciné. Nous expliquerons ensuite certains résultats qui peuvent tre obtenus, en utilisant ce point de vue, à la fois pour les groupes de Cremona sur un corps fini et pour les groupes de Neretin.
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Nicolas Monod (EPFL) - The fixed-point property and piecewise-projective transformations of the line
We describe a new and elementary proof of the fact that many groups of piecewise-projective transformation of the line are non-amenable by constructing an explicit action without fixed points.
One the one hand, such groups provide explicit counter-examples to the Day-von Neumann problem. On the other hand, they illustrate that we can distinguish many "layers" of relative non-amenability between nested subgroups.
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Immanuel van Santen (Bern) - A characterization of rationality and Borel subgroups
This is joint work with Andriy Regeta and Christian Urech. In this talk, we focus on the following two questions about the group of birational transformations, Bir(X), of an irreducible variety X:
1. If Bir(X) and Bir(ℙn) are isomorphic, does this imply that X and ℙn are birational?
2. What are the Borel subgroups of Bir(X)?
The first question was answered affirmatively in 2014 by Serge Cantat under the additional assumption that dim X ≤ n. We prove (independently of Serge Cantat's result) that the first question has an affirmative answer without this dimension bound.
Regarding the second question, Jean-Philippe Furter and Isac Hedén completely classified the Borel subgroups of Bir(ℙn) in 2023 for the case n = 2. We prove that any Borel subgroup of Bir(X) has derived length at most twice the dimension of X, and equality holds only if X is rational, and the Borel subgroup is conjugate to the standard Borel subgroup in Bir(ℙn). Moreover, we provide examples of Borel subgroups in Bir(ℙn) of derived length less than 2n for any n ≥ 2 (the case n = 2 was treated by Furter and Hedén). This answers affirmatively a conjecture of Vladimir Popov.
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Participants
Marc Abboud (Neuchâtel)
Sebastian Baader (Bern)
Jérémy Blanc (Neuchâtel)
Serge Cantat (Rennes)
Yves Cornulier (Nantes)
Rémi Coulon (Dijon)
Gabriel Dill (Neuchâtel)
Anthony Genevois (Montpellier)
Alicia Jacquet-Chiffelle (Neuchâtel)
Elias Kurz (Neuchâtel)
Elisa Lorenzo Garcia (Neuchâtel)
Anne Lonjou (Paris-Saclay)
Stéphane Lamy (Toulouse)
Nicolas Monod (EPFL)
Anne Schnattinger (Neuchâtel)
Christian Urech (ETHZ)
Alain Valette (Neuchâtel)
Immanuel Van Santen (Bern)
Henrik Wehrheim (Neuchâtel)
Organisateurs
Jérémy Blanc (Neuchâtel)
Alain Valette (Neuchâtel)
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